已知:OP平分∠AOB.∠DCE的顶点C在射线OP上.射线CD交射线OA于F.射线CE交射线OB于G．(1)如图①.若CD⊥OA.CE⊥OB.请直接写出线段CF与CG的数量关系:CF=CG,(2)如图②.若∠AOB=120°.∠DCE=∠AOC.试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明,(3)若∠AOB=α.当∠DCE满足什么条件时.你在(2)中得到的结论仍然� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知：OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于F，射线CE交射线OB于G．
（1）如图①，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系：CF=CG；
（2）如图②，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；
（3）若∠AOB=α，当∠DCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出∠DCE满足的条件．

分析（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
（2）结论：CF=CG，如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，只要证明△CMF≌△CNG即可解决问题．
（3）当∠DCE=180°-α时，在（2）中得到的结论仍然成立，如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明方法类似（2）．

解答解：（1）结论CF=CG．
理由：如图①中，

∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG．

（2）结论：CF=CG．
理由：如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N．

∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，ON⊥OB，
∴CM=CN，
∵∠AOB=120°，
∴∠MCN=360°-∠CMO-∠CNO-∠AOB=60°，
∵∠DCE=∠AOC=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠GCN，
在△CMF和△CNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCF=∠NCG}\\{CM=CN}\\{∠CMF=∠CNG}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△CNG，
∴CF=CG．

（3）当∠DCE=180°-α时，在（2）中得到的结论仍然成立．
理由：如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N．
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，ON⊥OB，
∴CM=CN，
∵∠DCE+∠AOB=180°，∠MCN+∠AOB=180°，
∴∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠GCN，
在△CMF和△CNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCF=∠NCG}\\{CM=CN}\\{∠CMF=∠CNG}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△CNG，
∴CF=CG．

点评本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．

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