Question

已知抛物线y＝ax²－2ax－3a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求点A，B的坐标；

(2)过点D作DH⊥y轴于点H，若DH＝HC，求a的值和直线CD的解析式；

(3)是否存在实数a，使四边形ABDC的面积为18，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)令y＝0，得 ax²－2ax－3a＝0.

∵a≠0，∴x²－2x－3＝0.

解得x₁＝－1，x₂＝3.

∵ 点A在点B的左侧，

∴点A的坐标(－1 , 0)，点B的坐标(3 , 0)．

(2)由y＝ax²－2ax－3a，令x＝0，得y＝－3a，

∴C(0 ，－3a)．

又∵y＝ax²－2ax－3a＝a(x－1)²－4a，

∴D(1 ，－4a)．∴H(0，－4a)

∴DH＝HC＝－4a－(－3a)＝－a＝1.

∴a＝－1.∴C(0 , 3)，D(1 , 4)．

设直线CD的解析式为y＝kx＋b，把点C，D的坐标分别代入，得

解得

∴直线CD的解析式为y＝x＋3.

(3)存在实数a，四边形ABDC的面积为18.理由：

S_{四边形ABDC}＝×(－3a)×1＋1×(－4a－3a)×＋×(－4a)×2＝18，

解得a＝－2.