Question

如图所示，正三角形△A₁B₁C₁的面积为1，取△A₁B₁C₁各边的中点A₂、B₂、C₂，作第二个正三角形△A₂B₂C₂，再取△A₂B₂C₂各边的中点A₃、B₃、C₃，作第三个正三角形△A₃B₃C₃，…用同样的方法作正三角形．则第4个正三角形△A₄B₄C₄的面积是

1

64

．

Answer 1

分析：先求前几个三角形的面积，找出其中的规律，再求解．

解答：解：∵正三角形△A₁B₁C₁的面积为1，
而△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是1：4，则正△A₂B₂C₂的面积是1×

1

4

；
因而正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是1：4，面积是（

1

4

）²；
依此类推△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是1：4，第n个三角形的面积是（

1

4

）^n-1．
所以第4个正△A₄B₄C₄的面积是（

1

4

）³，
故答案是：

1

64

．

点评：本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．