题目内容

设x，y是大于零的实数，且 $数学公式$ ，则 $数学公式$ =________．

4
分析：根据比例的性质由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由三角函数的关系有 $\text{[math]}$ =tanθ，则tanθ= $\text{[math]}$ ，在△ABC中，∠C=90°，AC=x，BC=y，根据锐角三角函数的定义得到
sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可化为 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，化简后得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =14，配方后得到（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²=16，然后两边开方取算术平方根即可．
解答：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ =tanθ，
∴tanθ= $\text{[math]}$ ，
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=x，BC=y，
∴AB= $\text{[math]}$ ，
∴sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ= $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =14，
∴（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²-2=14，
∴（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²=16，
而x，y是大于零的实数，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4．
故答案为4．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值；一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；一锐角的正切等于它的对边与它的邻边的比值．也考查了勾股定理、完全平方公式以及比例的性质．