Question

a是大于零的实数，已知存在惟一的实数k，使得关于x的二次方程x²+（k²+ak）x+1999+k²+ak=0的两个根均为质数．求a的值．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系，可得方程p+q=-（k²+ak），①pq=1999+k²+ak．②，从而得到（p+1）（q+1）=2⁴×5³，③．得出

p+1

4

•

q+1

4

=5³，求得p=3，q=499，代入①得k²+ak+502=0，④，再根据判别式求得a的值．

解答：解：设方程的两个质数根为p﹑q．由根与系数的关系，有
p+q=-（k²+ak），①
pq=1999+k²+ak，②
①+②，得p+q+pq=1999，
则（p+1）（q+1）=2⁴×5³．③
由③知，p、q显然均不为2，所以必为奇数．
故

p+1

2

和

q+1

2

均为整数，且

p+1

2

•

q+1

2

=2²×5³，
若

p+1

2

为奇数，则必

p+1

2

=5^r（r=1，2，3），从而，p=2×5^r-1为合数，矛盾．
因此，

p+1

2

必为偶数．同理，

q+1

2

也为偶数．
所以，

p+1

2

和

q+1

2

均为整数，且

p+1

4

•

q+1

4

=5³．
不妨设p≤q，则

p+1

4

=1或5．
当

p+1

4

=1时，

q+1

4

=5³，得p=3，q=499，均为质数．
当

p+1

4

=5时，

q+1

4

=5²，得p=19，q=99，q为合数，不合题意．
综上可知，p=3，q=499．
代入①得k²+ak+502=0．④
依题意，方程④有惟一的实数解．
故△=a²-4×502=0．
解得a=2

502

．

点评：此题考查了二次方程根的情况与判别式△的关系以及根与系数的关系，质数的基本性质，有一定的难度．