Question

9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，以BC边的中点D为圆心，以CD的长为半径作弧，交AB于点E；以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点F，则阴影部分的面积为$\frac{3}{4}$π-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 连接DE，如图，利用圆周角定理得到∠CEB=90°，再根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，所以∠CDE=90°，根据扇形面积公式和计算出S_{由AC、AE和弧CE所围成的图形}=S_△ABC-S_扇形CDE-S_△BDE=$\frac{3}{2}$-$\frac{π}{4}$，然后利用阴影部分的面积=S_扇形CAF-S_{由AC、AE和弧CE所围成的图形}进行计算．

解答 解：连接DE，如图，
∵点D为BC的中点，
即BC为直径，
∴∠CEB=90°，
∴CE⊥AB，
而△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠CDE=90°，
S_{由AC、AE和弧CE所围成的图形}=S_△ABC-S_扇形CDE-S_△BDE
=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{90•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×1
=$\frac{3}{2}$-$\frac{π}{4}$，
∴阴影部分的面积=S_扇形CAF-S_{由AC、AE和弧CE所围成的图形}
=$\frac{45•π•{2}^{2}}{360}$-（$\frac{3}{2}$-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{3}{4}$π-$\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{3}{4}$π-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S_扇形=$\frac{n•π•{R}^{2}}{360}$或S_扇形$\frac{1}{2}$lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质．