Question

19．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，1）或（0，-1）．

Answer 1

分析 当⊙P与x轴相切时可求得P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．

解答 解：
∵⊙P与x轴相切，
∴P到x轴的距离等于半径1，
∴点P的纵坐标为1或-1，
当y=1时，代入可得0=$\frac{1}{2}$x²-1，解得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，1）；
当y=-1时，代入可得-1=$\frac{1}{2}$x²-1，解得x=0，此时P点坐标为（0，-1）；
综上可知P点坐标为（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，1）或（0，-1），
故答案为：（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，1）或（0，-1）．

点评 本题主要考查切线的性质，根据切线的性质求得P点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论．