Question

13．如图，在长方形ABCD中，E是CD中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BD，DF，下列结论：①△ADE≌△CEF；②∠AFD+∠BDC=∠BAF；③3DG=DF；④BD⊥DF，其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质得到∠DAE=∠CFE，证得△ADE≌△CEF；故①正确；由全等三角形的性质得到AD=CF，于是得到BC=CF，根据线段的垂直平分线的性质得到BD=DF，由等腰三角形的性质得到∠BDC=∠FDC，由三角形的外角的性质得到②正确；根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{AB}=\frac{DG}{BG}=\frac{1}{2}$，求得DG=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{3}$DF；得到DF=3DG，故③正确；由BC≠CD，得到∠BDC≠45°，即可得到∠BDF≠90°，故④错误．

解答 解：在长方形ABCD中，
∵AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
∵E是CD中点，
∴DE=CE，
在△ADE与△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CFE}\\{∠AED=∠FEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CEF；故①正确；
∴AD=CF，
∴BC=CF，
∵DC⊥BF，
∴BD=DF，
∴∠BDC=∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠CEF=∠CDF+∠AFD，
∴∠AFD+∠BDC=∠BAF；故②正确；
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△DEG，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DG}{BG}=\frac{1}{2}$，
∴DG=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{3}$DF；
∴DF=3DG，故③正确；
∵BC≠CD，
∴∠BDC≠45°，
∴∠BDF≠90°，故④错误．
故选A．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．