Question

已知二次函数y=x²-2mx-m²（m≠0）的图象与x轴交于点A，B，它的顶点在以AB为直径的圆上．
（1）证明：A，B是x轴上两个不同的交点；
（2）求二次函数的解析式；
（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出根的判别式，然后根据根的判别式大于0即可判断与x轴有两个交点；
（2）利用根与系数的关系求出AB的长度，也就是圆的直径，根据顶点公式求出顶点的坐标得到圆的半径，然后根据直径是半径的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函数解析式便不难求出函数解析式；
（3）根据（2）中的结论，求出圆的半径，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦长，弦CD的长等于半弦的2倍．
解答：解：（1）证明：∵y=x²-2mx-m²（m≠0），
∴a=1，b=-2m，c=-m²，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（-m²）=4m²+4m²=8m²，
∵m≠0，
∴△=8m²＞0，
∴A，B是x轴上两个不同的交点；

（2）设AB点的坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-=-=2m，x₁•x₂==-m²，
∴AB=|x₁-x₂|===2，
-=-=m，
==-2m²，
∴顶点坐标是（m，-2m²），
∵抛物线的顶点在以AB为直径的圆上，
∴AB=2（2m²），
即2=2（2m²），
解得m²=，
∴m=±，
∴y=x²-2×x-=x²-x-，或y=x²+2×x-=x²+x-，
即抛物线解析式为：y=x²-x-或y=x²+x-；

（3）根据（2）的结论，圆的半径为2m²=2×=1，
弦CD的弦心距为|m|=，
∴CD==，
∴CD=2×=．
点评：本题综合考查了二次函数与x轴的交点的个数的判断，根与系数关系的应用，以及圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，综合性较强，但难度不是很大仔细分析求解便不难解决．