题目内容

如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH= $数学公式$ AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为________．

$\text{[math]}$
分析：先设正方形的边长为a，再求证Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，再由AE=BF=CG=DH= $\text{[math]}$ AB可求出其面积，由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形，且都全等，再根据S_阴影=S_□ABCD-4S_△AED+4S_△AEL计算即可．
解答：

解：设正方形的边长为a，则S_□ABCD=a²，
∵AE=BF=CG=DH= $\text{[math]}$ AB，
∴AE=BF=CG=DH= $\text{[math]}$ a，
∴AF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，
∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，
∴S_△AED= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a•a= $\text{[math]}$ a²．
∵Rt△AED≌Rt△BFA，
∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，
∴∠ALE=∠DAE=90°，
∴△AEL是直角三角形，
∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，
∴Rt△AEL∽Rt△AFB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，AL= $\text{[math]}$ a，EL= $\text{[math]}$ ，
∴S_△AEL= $\text{[math]}$ AL•EL= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理可得，S_△AEL=S_△BNF=S_△CKG=S_△DHJ= $\text{[math]}$ ，
∴S_阴影=S_{正方形ABCD}-4S_△AED+4S_△AEL=a²-4S_△AED+4S_△AEL=a²-4× $\text{[math]}$ a²+4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a²，
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为 $\text{[math]}$ a²：a²= $\text{[math]}$ ．
点评：本题涉及到直角三角形的判定定理、相似三角形的判定及性质、矩形及直角三角形的面积公式，比较复杂，涉及面较广，但难度适中．