题目内容

（2013•甘井子区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=
5
，BC=2
5
．绕点A将△ACD逆时针旋转90°形成△AC1D1，点P从点A出发沿线段AB以每秒一个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（秒），过点P作AB的垂线l，△AC1D1关于直线l的轴对称图形为△A1C2D2．
（1）画出△AC1D1；
（2）当点D2落在BC上时，t的值为
3.5
3.5
秒；
（3）令△A1C2D2与△BCD的重叠面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．
分析：（1）图1，根据旋转的性质作出图形即可；
（2）如图4，延长CD交D1C1于点G，连接C1C2，先由勾股定理求出AB的值，再由面积公式求出CD的值，就可以求出AD的值，由旋转可以得出三角形全等，就有AD=AD1，DC=D1C1，由△CDB∽△CGD2，就可以求出GD2的值，由轴对称就可以得出D1D2=2AP=2t建立方程求出其解即可．
（3）分情况讨论，如图2，当0＜t≤1时，可以求出S由t的函数关系式，如图3，当1＜t≤2时，可以求出S与t的函数关系式．
解答：解：（1）由题意画出图形为，如图1．

（2）如图4，延长CD交D1C1于点G，连接C1C2，
∵∠ACB=90°，AC=
5
，BC=2
5
．
∴由勾股定理，得AB=5，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
1
2
×
5
×2
5
=
1
2
CD×5，
∴CD=2．
∴由勾股定理，得
AD=1．
∴DB=4．
∵绕点A将△ACD逆时针旋转90°形成△AC1D1，
∴△ACD≌△AC1D1，∠BAD1=90°．
∴AD=AD1=1，DC=D1C1=2．∠ADC=∠D1=90°
∴AB∥D1C1，
∴∠D1GD=∠ADG=90°．
∴四边形AD1GD是正方形，
∴DG=AD=D1G=1，
∴CG=3．
∵AB∥D1C1，
∴△CDB∽△CGD2，
∴
CD
CG
=
DB
GD2
，
∴
2
3
=
4
GD2
，
∴GD2=6．
∴D1D2=7．
∵△AC1D1关于直线l的轴对称图形为△A1C2D2，
∴D1D2=2D1F，
∴AP=D1F=t，
∴2t=7，
∴t=3.5．
故答案为3.5；

（3）如图2，当0＜t≤1时，
PA=PA1=t，
∴AA1=2t，
∴D1D2=2t，
∴D2C1=2-2t．
∵tan∠C1=
1
2
，
∴D2H=1-t
∴FC1=2-t，
∴EF=1-
1
2
t．
∴S=
(1-
1
2
t+1-t)t
2
×2=2t-
3
2
t2，
如图3，当1＜t≤2时，
D1F=t，FC1=2-t，
∴EF=1-
1
2
t，
∴S=
1
2
×（2-t）（1-
1
2
t）×2=2-2t+
1
2
t2．
S=
2t-
3
2
t2
2-2t+
1
2
t2
．．
点评：本题考查了旋转的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的性质的运用，轴对称的性质的运用，正切值的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用轴对称的性质和相似三角形的性质求解是关键．
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