题目内容

关于x的方程 $数学公式$ 有实根．
（1）若方程只有一个实根，求出这个根；
（2）若方程有两个不相等的实根x₁，x₂，且 $数学公式$ ，求k的值．

解：（1）当1-2k=0，即k= $\text{[math]}$ ，原方程变形一元一次方程-2（ $\text{[math]}$ +1）x- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =0，方程只有一个实根，解此方程得x=- $\text{[math]}$ ；
（2）当1-2k≠0，即k≠ $\text{[math]}$ ，原方程为一元二次方程，
∵方程有两个不相等的实根，
∴△＞0，即4（k+1）²-4（1-2k）×（- $\text{[math]}$ k）＞0，
∴k＞- $\text{[math]}$ ，
∵x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =-6，
∴ $\text{[math]}$ =-6，解得k=2，
∴k的值为2．
分析：（1）方程只有一个实根，则1-2k=0，即k= $\text{[math]}$ ，于是原方程变形一元一次方程-2（ $\text{[math]}$ +1）x- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =0，然后解此方程即可；
（2）由于方程有两个不相等的实根，△＞0，得到k＞- $\text{[math]}$ ，然后根据根与系数的关系得到x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，再有 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ =-6，即可得到关于k的方程，解方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．