Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=$\sqrt{3}$x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=$\sqrt{3}$x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=$\frac{1}{2}$x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．

解答 解：如图所示，设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=$\sqrt{3}$x，
如图，作EM⊥AD于M，则AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD=$\frac{AM}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的综合应用，通过作辅助线构造直角三角形，求出AM是解决问题的关键．