Question

【题目】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，交轴于点，设点的横坐标为．

①求出四边形的周长与的函数表达式，并求的最大值；

②当为何值时，四边形是菱形；

③是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当时，的最大值为；②当时，四边形是菱形．③点的坐标为或．

【解析】

（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，设二次函数的解析式：，根据题意求出 ， 并代入求出a即可．

（2）①设点的坐标为，则点的坐标为，即可求出．再根据平行线所截线段对应成比例得到，用t表示CE，得 ．再根据平行四边形的判定与性质，可以得到，根据二次函数的最值即可得答案;

②要使四边形是菱形，必有，即，解出t值即可;

③分两种情况讨论：（Ⅰ）当时，，求出对应P坐标即可;（Ⅱ）当时，，求出对应P坐标即可．

（1）直线与轴、轴的交点坐标分别为、．

∵抛物线与轴的另一交点．

∴设所求抛物线的函数表达式为，

把点代入，得，解得．

∴所求抛物线的函数表达式为，

即．

（2）①设点的坐标为，则点的坐标为，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，，

∴四边形是平行四边形.

∴．

∵，

∴当时，的最大值为．

②要使四边形是菱形，必有，

∴，整理得，解得，（舍去）．

∴当时，四边形是菱形．

③分两种情况讨论：

（Ⅰ）如下图，当时，，

∵，

∴轴．

∴，即.解得，（舍去） ．

∴点的坐标为．

（Ⅱ）如下图，过点作轴于点，当时，，

∵

∴

又∵

∴

∵

∴，

∴，即，解得，（舍去）．

∴点的坐标为．

综上所述，点的坐标为或．