题目内容

如图，抛物线 $数学公式$ （a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A（-3，0）、B（4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M在线段AB上以每秒2个单位长度的速度从点A向点B运动，同时，点N在线段AC上以每秒1个单位长度的速度从点C向点A运动．设运动时间为t（0＜t＜3.5），试求出四边形BCNM的面积S与t的函数关系式．当t为何值时，S的值最小，最小值是多少？
（3）点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，在（2）的条件下，当四边形BCNM的面积S最小时，是否存在这样的点P与点Q，使以P，Q，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线 $\text{[math]}$ 经过A（-3，0）、B（4，0）两点，则
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
故抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ；

（2）依题意，得AM=2t，CN=t，
∵OC=4，OA=3，∠AOC=90°，
∴AC= $\text{[math]}$ ，
∴AN=AC-CN=5-t，
作ND⊥OA于点D，
∵OC⊥OA，
∴ND∥OC，
∴ $\text{[math]}$ ，

∴DN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S=S_△ABC-S_△AMN
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ 时，S的最小值是9；

（3）如图，存在，
若以BN为对角线，N点坐标为（- $\text{[math]}$ ，2），则Q点的横坐标为4-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2，当x=2时，y=- $\text{[math]}$ ×2²+ $\text{[math]}$ ×2+4=3 $\text{[math]}$ ，则点P的纵坐标为2-3 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，故点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；
若以BN为一边，则Q点的横坐标为 $\text{[math]}$ -（4+ $\text{[math]}$ ）=-5，当x=-5时，y=- $\text{[math]}$ ×（-5）²+ $\text{[math]}$ ×（-5）+4=-6，则点P的纵坐标为-6+2=-4，故点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-4）；
若以BN为一边，则Q点的横坐标为 $\text{[math]}$ +（4+ $\text{[math]}$ ）=6，当x=6时，y=- $\text{[math]}$ ×6²+ $\text{[math]}$ ×6+4=-6，则点P的纵坐标为-6-2=-8，故点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-8）．
故点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）、（ $\text{[math]}$ ，-4）、（ $\text{[math]}$ ，-8）．
分析：（1）将A（-3，0）、B（4，0）两点代入抛物线 $\text{[math]}$ （a≠0），即可联立两式求出a，c的值，从而求出该抛物线的解析式；
（2）依题意，得AM=2t，CN=t，根据勾股定理可求AC，表示出AN，作ND⊥OA于点D，根据相似三角形的性质可表示出DN，根据三角形的面积即可得到四边形BCNM的面积S与t的函数关系式，配方后可求S的最小值；
（3）利用平行四边形的性质结合图形得出若以BN为对角线以及以BN为一边时，分别得出P点坐标即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质与判定和三角形面积求法等知识，根据已知结合图形以及利用分类讨论思想得出是解题关键．