Question

如图，已知抛物线y=

k

8

（x+2）（x-4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-

3

3

x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；
（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+

1

2

DF．如答图3，作辅助线，将AF+

1

2

DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

解答：解：（1）抛物线y=

k

8

（x+2）（x-4），
令y=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵直线y=-

3

3

x+b经过点B（4，0），
∴-

3

3

×4+b=0，解得b=

4 3

3

，
∴直线BD解析式为：y=-

3

3

x+

4 3

3

．
当x=-5时，y=3

3

，
∴D（-5，3

3

）．
∵点D（-5，3

3

）在抛物线y=

k

8

（x+2）（x-4）上，
∴

k

8

（-5+2）（-5-4）=3

3

，
∴k=

8 3

9

．
∴抛物线的函数表达式为：y=

8 3

9

（x+2）（x-4）．

（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=-k，
∴C（0，-k），OC=k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2-1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：

k

2

=

y

x+2

，
∴y=

k

2

x+k．
∴P（x，

k

2

x+k），代入抛物线解析式y=

k

8

（x+2）（x-4），
得

k

8

（x+2）（x-4）=

k

2

x+k，整理得：x²-6x-16=0，
解得：x=8或x=-2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴

AC

AB

=

AB

AP

，即

k2+4

6

=

6

25k2+100

，
解得：k=

4 5

5

．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2-2所示．
与①同理，可求得：k=

2

．
综上所述，k=

4 5

5

或k=

2

．

（3）如答图3，由（1）知：D（-5，3

3

），
如答图2-2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3

3

，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA=

DN

BN

=

3 3

9

=

3

3

，
∴∠DBA=30°．

过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=

1

2

DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+

1

2

DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t_最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为-2，直线BD解析式为：y=-

3

3

x+

4 3

3

，
∴y=-

3

3

×（-2）+

4 3

3

=2

3

，
∴F（-2，2

3

）．
综上所述，当点F坐标为（-2，2

3

）时，点M在整个运动过程中用时最少．

点评：本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．