Question

如图，已知抛物线y=-x²-4x+k的图象，与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B（0，5），点M（a，0）在x轴上运动．
（1）求k的值．
（2）当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
（3）当a为何值时，以AC的长为直径的⊙M与直线BC相切，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用B（0，5），代入解析式求出即可；
（2）利用等腰三角形的性质分别以AB为底边以及AB为腰，求出即可；
（3）当⊙M于直线BC相切时，设切点为E，连结ME，利用相似三角形的判定与性质得出a的值即可．

解答：解：（1）把点B（0，5）代入y=-x²-4x+k
得 k=5；

（2）①以AB为底边，
∵y=-x²-4x+5，
当y=0，解得：x₁=1，x₂=-5，
∴AO=5，
∴AB=5

2

，
AO=BO=5，
则点M的坐标为（0，0），
②以AB为腰，AB=BM或AB=AM，则点M的坐标为（5，0）或（-5-5

2

，0）或（0，-5）或（5

2

-5，0）；

（3）根据题意得出：AC=6，C（1，0），BC=

26

，
当⊙M于直线BC相切时，设切点为E，连结ME，
则△MCE∽△BOC，
∴

MC

ME

=

BC

BO

，
∴

MC

3

=

26

5

，
∴MC=

3 26

5

，
∴MO=

3 26

5

-1，
∴a=-

3 26

5

+1，
同理可得：当⊙M的圆心在y轴右侧，则a=

3 26

5

+1，
综上所述：当a=-

3 26

5

+1或

3 26

5

+1时，以AC的长为直径的⊙M与直线BC相切．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．