Question

5．如图，点A（a，b）是双曲线y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上的一点，点P是x轴负半轴上的一动点，AC⊥y轴于C点，过A作AD⊥x轴于D点，连接AP交y轴于B点．
（1）△PAC的面积是4；
（2）当a=2，P点的坐标为（-2，0）时，求△ACB的面积；
（3）当a=2，P点的坐标为（x，0）时，设△ACB的面积为S，试求S与x之间的函数关系．

Answer 1

分析 （1）由点A（a，b）是双曲线y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上，得到ab=8，根据反比例函数系数k的几何意义，就看得到△PAC的面积=$\frac{1}{2}$AD•AC=$\frac{1}{2}$ab=4；
（2）先求出直线AP的解析式为y=x+2，得到B（0，2），即可求出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}×2×2$=2；
（3）求出直线AP的解析式为y=$\frac{4x}{2-x}$-$\frac{4x}{2-x}$，得到B（0，-$\frac{4x}{2-x}$），代入三角形的面积公式即可求出S=$\frac{1}{2}$×2×（-$\frac{4x}{2-x}$）=-$\frac{4x}{2-x}$．

解答 解：（1）∵点A（a，b）是双曲线y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上，
∴ab=8，
∵AC⊥y轴于C点，AD⊥x轴于D点，
∴AC=a，AD=b，
∴△PAC的面积=$\frac{1}{2}$AD•AC=$\frac{1}{2}$ab=4；
故答案为：4；

（2）∵a=2，
∴b=4，
∴AC=2，AD=4，A（2，4），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=-2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=x+2，
∴B（0，2），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}×2×2$=2；

（3）同理直线AP的解析式为y=$\frac{4x}{2-x}$-$\frac{4x}{2-x}$，
∴B（0，-$\frac{4x}{2-x}$），
∴BC=4+$\frac{4x}{2-x}$=$\frac{8}{2-x}$
∴S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{2-x}$=$\frac{8}{2-x}$．

点评 本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确理解k的几何意义是解题的关键．