题目内容

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．
（1）如图①，若点E，F分别在边AB，AC上，且AE=CF，连接DE，DF，EF，观察，猜想△DEF是否为等腰直角三角形，并证明你的猜想．
（2）如图②，若点E，F分别在边AB，CA的延长线上，且AE=CF，连接DE，DF，EF，那么（1）中所得到的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明你的理由．

解：（1）△DEF为等腰直角三角形．
证明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是斜边BC的中点，
∴AD是BC边上的中线．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= $\text{[math]}$ ∠BAC= $\text{[math]}$ ×90°=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=∠C
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中
$\text{[math]}$
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）成立．
证明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是斜边BC的中点，
∴AD是BC边上的中线．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= $\text{[math]}$ ∠BAC= $\text{[math]}$ ×90°=45°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD=∠C，
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中
$\text{[math]}$
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADB=90°
∴△DEF为等腰直角三角形．
分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得出DA=DC，∠BAD=∠CAD=∠C进而得出△ADE≌△CDF（SAS），即可得出△DEF为等腰直角三角形；
（2）首先利用已知得出AD=DC，进而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD，进而得出答案．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，根据已知得出△ADE≌△CDF是解题关键．