Question

【题目】已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝4，CO＝2，接连接AD，BC、点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1所示，求证：OH＝AD且OH⊥AD；

（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，证明你的结论；

（3）请直接写出线段OH的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论：OH＝AD，OH⊥AD．理由见解析；（3）1≤OH≤3．

【解析】

(1)只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题；

（2)延长HO交AD于K．延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM，CM．．由△AOD≌△OBM（SAS）即可解决问题；

（3）如图2中，在△OBM中求得2≤OM≤6即可解答

（1）如图1中，设AD交OH于K．

∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝90°，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴BC＝AD，∠OBC＝∠DAC，

∵BH＝HC，∠BOC＝90°，

∴OH＝BH＝CH＝ BC，

∴OH＝ AD，∠HBO＝∠HOB，

∵∠HOB+∠AOH＝90°，

∴∠OAD+∠AOH＝90°，

∴∠AKO＝90°，

∴AD⊥OH．

（2）结论：OH＝ AD，OH⊥AD．

理由：延长HO交AD于K．延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM，CM．

∵BH＝CH，OH＝HM，

∴四边形BOCM是平行四边形，

∴OC＝BM，OC∥BM，

∴∠MBO+∠BOC＝180°，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD+∠BOC＝180°，

∴∠OBM＝∠AOD，

∵OA＝OB，

∴△AOD≌△OBM（SAS），

∴OM＝AD，∠BOM＝∠DAD，

∵∠BOM+∠AOK＝90°，

∴∠OAD+∠AOK＝90°，

∴∠OKA＝90°，

∴OH⊥AD．

（3）如图2中，在△OBM中，∵OB＝OA＝4，BM＝OC＝2，

∴4﹣2≤OM≤4+2，

∴2≤OM≤6，

∵OM＝2OH，

∴1≤OH≤3．