Question

北方某水果商店从南方购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查这种水果在北方市场上的销售量y（吨）与每吨的销售价x（万元）之间的函数关系如下图所示：
（1）求出销售量y与每吨销售价x之间的函数关系式；
（2）如果销售利润为w（万元），请写出w与x之间的函数关系式；
（3）当每吨销售价为多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）由图可知，销售量y与每吨销售价x之间成一次函数，并经过点（0.6，2）和点（1，1.6），使用待定系数法列出方程组求解．
（2）由（1）知销售量y=-x+2.6，而每吨的利润为x-0.4，所以w=y（x-0.4）．
（3）解出（2）中的函数是一个二次函数，对于二次函数取最值可使用配方法．

解答：解：（1）设销售量y与每吨销售价x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）
由题意得

0.6k+b=2 k+b=1.6

解得

k=-1 b=2.6

（3分）
y与x的函数关系式为y=-x+2.6（4分）

（2）w=（-x+2.6）（x-0.4）=-x²+3x-1.04（8分）

（3）解法①：w=-x²+3x-1.04=-（x-1.5）²+1.21（10分）
当x=1.5时，w最大=1.21
∴每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元（12分）
解法②：当x=-

b

2a

=-

3

2×(-1)

=1.5时，w_最大=

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×(-1.04)-9

4×(-1)

=1.21
∴当每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元．（12分）

点评：本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．