Question

（1）已知：如图1，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：AB=DE；
（2）已知：如图2，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP与E，F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．

Answer 1

分析：①由平行线的性质，得出对应角相等，根据已知条件可确定ASA．
②要求弦心距，先求圆的半径，再将它们转化为直角三角形的边，根据勾股定理，即可求得．

解答：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠F=∠ACB
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE；

（2）解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF，（4分）
∵DB=10cm，
∴OD=5cm，
∴AO=AD+OD=3+5=8（cm），
∵∠PAC=30°，
∴OG=

1

2

AO=

1

2

×8=4（cm）（5分）
∵OG⊥EF，
∴EG=GF，
∵GF=

OF2-OG2

=

52-42

=3（cm），
∴EF=6（cm）．（7分）

点评：全等三角形是中考的热点，对全等三角形判定要熟稔于心．对于圆的垂径定理和勾股定理，要结合运用．