题目内容

如图，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一条弧，点E是边AD上的任意一点（点E与A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点
【小题1】当∠DEF＝时，试说明点G为线段EF的中点；
【小题2】设AE＝，FC＝，用含有的代数式来表示，并写出的取值范围
【小题3】如果把△DEF沿直线EF对折后得△，如图2，当 时，讨论△与△是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要写出结论，不要求写出理由．

【小题1】∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，
∴AD切圆B于点A．
同理：CD切圆B于点C．
又∵EF切圆B于点G，
∴AE=EG，FC=FG．
∴EG=FG，即G为线段EF的中点．
【小题2】根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根据勾股定理，得：
（x+y）2=（1-x）2+（1-y）2
∴y= （0＜x＜1）．
【小题3】当EF= 时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+ = ，
解得x1= 或x2= ．
①当AE= 时，△AD1D∽△ED1F，
证明：设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：
△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H．
∵AE= ，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°．
又∵∠ED1F=∠EDF=90°，
∴∠ED1F=∠AD1D．
∴△ED1F∽△AD1D．
②当AE= 时，△ED1F与△AD1D不相似．解析:
此题综合运用了切线长定理、相似三角形的判定和性质；能够发现正方形，根据正方形的性质进行分析证明
练习册系列答案
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精英家教网如图：在正方形网格上有△ABC，△DEF，说明这两个三角形相似，并求出它们的相似比．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线精英家教网，交BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直径AC的长度；
（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
23、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．
（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+
3
．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
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2
，求另一直角边BC的长．

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