Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y=x²－(k+2)x+k²+1.

（1）k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？

（2）若此抛物线与x轴交于A(x₁,0)、B(x₂,0)两点(点A在点B左侧)，且x₁+x₂=3，求k的值.

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²－(k+2)x+k²+1与x轴有两个交点，

若令y=0,即x²－(k+2)x+k²+1=0,

则有=－(k+2)²－4×1×(k²+1)>0, k²+4k+4－k²－4>0,4k>0,∴k>0，

即k>0时，此抛物线与x轴有两个交点.

（2）∵抛物线y=x²－(k+2)x+k²+1与x轴交于A(x₁,0)、B（x₂,0）两点,

∴x_1,2=，∵点A在点B左侧，即x₁<x₂，又∵k>0，

∴x₁=，x₂=>0，∴.

∵x₁+=3，∴x₁+x₂=3，即+ =3，即k=1.