题目内容

16．AD是⊙O的直径，AD⊥BC，AB、AC分别与圆相交于E，F，求证：AB•AE=AF•AC．

分析 连接DE、DF，如图，先根据圆周角定理由AD是⊙O的直径得到∠AED=∠AFD=90°，而∠AD′B=∠AD′C=90°，则可判断B、D′、D、E四点共圆，C、D′、D、F四点共圆，然后根据切割线定理得AE•AB=AD•AD′，AF•AC=AD•AD′，则AE•AB=AF•AC．

解答 解：连接DE、DF，设AD⊥BC垂足为D′，
∴AD′⊥BC，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵AD′⊥BC，
∴∠AD′B=∠AD′C=90°，
∴B、D′、D、E四点共圆，C、D′、D、F四点共圆，
∴AE•AB=AD•AD′，AF•AC=AD•AD′，
∴AB•AE=AF•AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

练习册系列答案
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9．用等式性质解方程：
（1）x+3=2；
（2）4=x-5．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，其图象顶点为D，已知点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（2，-1）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）试问△ABD与△BCO是否相似？并证明你的结论；
（3）已知P是此二次函数图象上的点，且∠PAB=∠ACB，试求点P的坐标．
11．由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图如图所示．
（1）请你画出这个简单几何体三种不同的俯视图；
（2）若组成这个简单几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．
1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）根据题意知：CQ=t，CP=4-2t；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{8}$？
（3）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
8．在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，点D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，线段CD的垂直平分线交直线AB于点F，交CD于点G．
（1）如图1，若点D在线段CB上，求证：EF=$\frac{1}{2}$AB；
（2）如图2，若点D为CB延长线上一点，（1）中结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立．说明理由；
（3）在（2）的条件下，若DE=8，AF•BF=28，求AB的长．
5．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最小值为（　　）
A．-3B．3C．-6D．9
6．已知△ABC和△BDE中，∠ABC=∠CDE=90°，CB=CD，连结BD、AE交于点F．
（1）如图1，若∠CAB=∠CED，探究AF与EF之间的数量关系；
（2）如图2，若∠CAB=∠ECD=α，求$\frac{AF}{FE}$的值（用含α的式子表示）．

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