Question

19．如图，已知抛物线经过A（1，0）、B（0，3）两点，对称轴是x=-1
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OM上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；
②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．

解答 解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=0}\\{a+k=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，k=4，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；
（2）①∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即3t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+5t-3=0，
解得t=$\frac{-5±\sqrt{37}}{2}$，由于t=$\frac{-5-\sqrt{37}}{2}$＜0，故舍去，
∴当t=$\frac{\sqrt{37}-5}{2}$秒时，四边形OMPQ为矩形；
②能，Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON为等腰三角形，有三种情况：

（I）若ON=AN，如答图1所示：
则Q为OA中点，OQ=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA-AQ=1-x，
在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ²+NQ²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=$\frac{1}{5}$，x₂=0（舍去），
∴x=$\frac{1}{5}$，OQ=1-x=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{4}{5}$；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ²+AQ²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，解得x₁=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，x₂=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$（舍去），
∴OQ=1-x=1-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴t=1-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
当t为$\frac{1}{2}$秒、$\frac{4}{5}$秒，（1-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）秒时，△AON为等腰三角形．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．