Question

4．如图，AC=BC且AC⊥BC，点D在AB上，DC=EC且DC⊥EC．
求证：AD²+BD²=2EC²．

Answer 1

分析 连接BE，由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=90°，证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE，得出BE=AD，∠EBC=∠A=45°，求出∠DBE=90°，在Rt△BDE和Rt△CDE中，由勾股定理得出BD²+BE²=CD²+EC²，即可得出结论．

解答 证明：连接BE，如图所示：
∵AC=BC且AC⊥BC，DC=EC且DC⊥EC，
∴∠A=∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠A=45°，
∴∠DBE=45°+45°=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDE中，DE²=BD²+BE²，DE²=CD²+EC²，
∴BD²+BE²=CD²+EC²，
又∵AD=BE，CD=EC，
∴AD²+BD²=2EC²．

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．