Question

【题目】如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。

求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）位置关系是AD⊥GA，利用见解析.

【解析】

试题分析：（1）先根据条件证明△BHF∽△CHE得出∠ABD=∠ACG，然后可证△ABD≌△GCA，从而可得AD=AG；（2）根据△ABD≌△GCA得出∠ADB=∠GAC，然后利用角的关系得出∠AED=∠GAD=90°，即可得证.

试题解析：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠HFB=∠HEC=90°，又∠BHF=∠CHE，

∴△BHF∽△CHE，

∴∠ABD=∠ACG，

在△ABD和△GCA中

，

∴△ABD≌△GCA（SAS），

∴AD=GA（全等三角形的对应边相等）；

（2）位置关系是AD⊥GA，

理由为：∵△ABD≌△GCA，

∴∠ADB=∠GAC，

又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，

∴∠AED=∠GAD=90°，

∴AD⊥GA．