Question

2．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A（1，0）和B两点，与y轴交于C（0，2）点，点D与点C关于抛物线的对称轴l对称．连接AC，AD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是抛物线上一点．若∠PDA与∠OAC互余，求点P的坐标．
（3）在抛物线对称轴l上是否存在一点Q．使△QAD为直角三角形？若存在，请直接写出所有Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b，c的值，然后可得到抛物线的解析式；
（2）先求得抛物线与y轴的交点坐标，然后再求得抛物线的对称轴，从而可得到点D的坐标，依据两点间的距离公式可求得AC、AD、CD的长，可证明△CAD为直角三角形，故此可知∠DAB与∠CAO互余，只要角∠PDA=∠DAB即可，如图1所示当PD∥AB时，可求得点P与点C重合；如图2所示：作AD的垂直平分线交x轴与点G，作射线DG交抛物线与点P，交AD与点E．依据线段的中点坐标公式可求得点E的坐标，然后再求得EG的解析式，可得到点G的坐标，接下来，求得DG的解析式，最后将DG的解析式与抛物线的解析式联立可求得点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为（$\frac{5}{2}$，y）．依据两点间的距离公式可知：AD²=（5-1）²+（2-0）²=20，AQ²=（2.5-1）²+y²，DQ²=（5-2.5）²+（y-2）²．然后分为AD²+AQ²=DQ²时；AD²+DQ²=AQ²时；当AQ²+DQ²=AD²时三种情况列方程求解即可．

解答 解：（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得：b=-$\frac{5}{2}$，c=2．
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2．

（2）如图1所示：

将x=0代入抛物线的解析式得：y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
∵点C与点D关于l对称，
∴点D的坐标为（5，2）．
令y=0得：
抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5}{2}$，
∵点C与点D关于x=-$\frac{5}{2}$对称，
∴依据两点间的距离公式可知AC=$\sqrt{O{C}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵AC²+AD²=AD²，
∴△ACD为直角三角形．
∴∠CAO+∠DAB=90°．
又∵∠OCA+∠CAO=90°，
∴∠OCA=∠DAB．
∴当∠PDA=∠DAB时，∠PDA与∠OAC互余．
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠DAB．
∴点P与点C重合．
∴点P的坐标为（0，2）．
如图2所示：作AD的垂直平分线交x轴与点G，作射线DG交抛物线与点P，交AD与点E．

∵点E是AD的中点，
∴点E的坐标为（3，1）．
设AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$．
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
设直线EG的解析式为y=-2x+n，将点E的坐标代入得：-6+n=1，解得n=7，
∴直线EG的解析式为y=-2x+7．
将y=0代入得：-2x+7=0，解得：x=3.5．
∴点G的坐标为（3.5，0）．
设DG的解析式为y=ax+m，将D和G的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3.5a+m=0}\\{5a+m=2}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{4}{3}$，m=-$\frac{14}{3}$．
∴直线DG的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{14}{3}$．
将y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{14}{3}$与y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2联立解得：x=5或x=$\frac{8}{3}$，
当x=$\frac{8}{3}$时，y=-$\frac{10}{9}$，
∴点P的坐标为（$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．
∴点P的坐标为（0，2）或（$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．

（3）设点Q的坐标为（$\frac{5}{2}$，y）．
依据两点间的距离公式可知：AD²=（5-1）²+（2-0）²=20，AQ²=（2.5-1）²+y²，DQ²=（5-2.5）²+（y-2）²．
当AD²+AQ²=DQ²时，（2.5-1）²+y²+20=（5-2.5）²+（y-2）²，解得：y=-3，
∴点Q的坐标为（$\frac{5}{2}$，-3）．
当AD²+DQ²=AQ²时，20+（5-2.5）²+（y-2）²=（2.5-1）²+y²，解得：y=7，
∴点Q的坐标为（$\frac{5}{2}$，7）．
当AQ²+DQ²=AD²时，（2.5-1）²+y²+（5-2.5）²+（y-2）²=20，解得：y=1±$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
∴点Q的坐标为（$\frac{5}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．
综上所述，点Q的坐标为（$\frac{5}{2}$，-3）或（$\frac{5}{2}$，7）或（$\frac{5}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，两点间的距离公式、勾股定理的逆定理，依据勾股定理的逆定理列出关于y的方程是解题的关键．