题目内容

如图，点P在双曲线 $数学公式$ （k．＞0）第一象限内的分支上运动，以P为圆心的圆保持与y轴相切于点A，与双曲线交于点B，点B在点P上方．
（1）当点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0， $数学公式$ ），试求双曲线 $数学公式$ 的解析式；
（2）切点A是否有可能与坐标原点O重合？
（3）在（1）的条件下，是否存在点P，使得△ABP为正三角形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0， $\text{[math]}$ ），
∴点P的坐标为：（2， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴k=2 $\text{[math]}$ ，
∴双曲线y= $\text{[math]}$ 的解析式为：y= $\text{[math]}$ ；

（2）切点A不能与坐标原点O重合．
理由：若切点A与坐标原点O重合，
则点P的纵坐标为0，
即点P在x轴上，
∵反比例函数与x轴不相交，
∴点P不能在x轴上，
∴切点A不能与坐标原点O重合；

（3）存在．
理由：设点P的坐标为：（a， $\text{[math]}$ ），
则AP=a，
过点B作BC⊥AP于点C，
∵△ABP为正三角形，
∴AC= $\text{[math]}$ AP= $\text{[math]}$ a，∠BAP=60°，
在Rt△BAC中，BC=AC•cos∠BAP= $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
∴点B的坐标为：（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ），
∵点B在双曲线y= $\text{[math]}$ 上，
∴ $\text{[math]}$ a×（ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，
解得：a²=4，
∴a=±2．
∵点P在第一象限，
∴a=2，
∴点P的坐标为：（2， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0， $\text{[math]}$ ），可得点P的坐标为：（2， $\text{[math]}$ ），然后由待定系数法即可求得双曲线 $\text{[math]}$ 的解析式；
（2）利用反证法，若切点A与坐标原点O重合，可得即点P在x轴上，又由反比例函数与x轴不相交，可得切点A不能与坐标原点O重合；
（3）设点P的坐标为：（a， $\text{[math]}$ ），由△ABP为正三角形，可求得点B的坐标为：（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ），又由点B在双曲线y= $\text{[math]}$ 上，即可得方程 $\text{[math]}$ a×（ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，解此方程即可求得a的值，继而求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、切线的性质、正三角形的性质以及点与反比例函数的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．