Question

【题目】如图，反比例函数的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求点C的坐标；

(3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）;（2）C（，）;（3）M（0，）

【解析】

（1）由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式；

（2）联立直线与反比例函数解析式可求得C点坐标；

（3）找C点关于y轴的对称点为C′，连接C′D交y轴于点，由对称的性质可知M点即为所求的点．

（1）∵A（1，3），AB⊥x轴于点D，

∴AB=3，OB=1，

∵AB=3BD，

∴BD=1，

∴D（1，1），

∵点D在反比例函数图象上，

∴1=，解得k=1，

∴反比例函数解析式为y=；

（2）联立直线与反比例函数解析式可得

，解得或，

∵点C在第一象限，

∴C点坐标为：（，）；

（3）设点C关于y轴的对称点为C′，

∴C′（-，），

连接C′D交y轴于点M，

′

则MC=MC′，

∴d=MC+MD=MC′+MD=DC′，

∴点M即为满足条件的点，

设直线C′D解析式为y=mx+n，

把C′、D的坐标代入可得，解得，

∴直线C′D的解析式为y=（3-2）x+（2-2），

令x=0可得y=2-2，

∴M（0，2-2）．