题目内容

如图，已知函数y= $数学公式$ x与反比例函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象交于点A．将y= $数学公式$ x的图象向下平移6个单位后与双曲线y= $数学公式$ 交于点B，与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若 $数学公式$ =2，求反比例函数的解析式．

解：（1）∵y= $\text{[math]}$ x的图象向下平移6个单位后与双曲线y= $\text{[math]}$ 交于点B，与x轴交于点C，

∴直线BC的解析式为y= $\text{[math]}$ x-6，
把y=0代入得 $\text{[math]}$ x-6=0，解得x= $\text{[math]}$ ，
∴C点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）；

（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽△RtCBF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，
设A点坐标为（a， $\text{[math]}$ a），则OE=a，AE= $\text{[math]}$ a，
∴CF= $\text{[math]}$ a，BF= $\text{[math]}$ a，
∴OF=OC+CF= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a，
∴B点坐标为（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a），
∵点A与点B都在y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴a• $\text{[math]}$ a=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a）• $\text{[math]}$ a，解得a=3，
∴点A的坐标为（3，4），
把A（3，4）代入y= $\text{[math]}$ 得k=3×4=12，
∴反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据一次函数图象的平移问题由y= $\text{[math]}$ x的图象向下平移6个单位得到直线BC的解析式为y= $\text{[math]}$ x-6，然后把y=0代入即可确定C点坐标；
（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，若设A点坐标为（a， $\text{[math]}$ a），则CF= $\text{[math]}$ a，BF= $\text{[math]}$ a，得到B点坐标为（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a），然后根据反比例函数上点的坐标特征得a• $\text{[math]}$ a=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a）• $\text{[math]}$ a，解得a=3，于是可确定点A的坐标为（3，4），再利用待定系数法确定反比例函数的解析式．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问题．