题目内容

过正方形ABCD的顶点A任引一直线交BC和DC的延长线于P、Q．求证： $数学公式$ 为定值．

证明：如图：设正方形的边长为a，BP=x，则CP=a-x，
∵△ABP∽△QCP，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得：CQ= $\text{[math]}$ ．
PQ²=PC²+CQ²=（a-x）²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
而a是正方形的边长，所以 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 为定值．
分析：首先设正方形的边长为a，BP的长为x，根据相似三角形对应边的比相等，用含a和x的式子表示CQ，然后用勾股定理求出PQ²，再运用相似三角形对应边的比表示出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，进行计算证明得到 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的值是一个定值，是正方形边长的平方分之一．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的对边平行且相等，得到相似三角形，运用相似三角形的性质，对应边的比相等进行计算，可以证明 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 为定值．