Question

【题目】如图，在中，， ，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接.

（1）求证：；

（2）当时（如图），求的长；

（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时.

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；

（2）解直角三角形得到BC，由，推出得到，由，得到，即可求出AE；

（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，过点作于点，过点作于点，于点，

则，由得到，推出，得到

，再利用等腰三角形的性质求出CD的长即可求解.

（1），

，

，

.

.

（2）过点作于点.

在中，设，则，

由勾股定理，得.

，

，

，

.

,

.

又，

.

，

.

.

.

，

.

.

（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得.

过点作于点，过点作于点，于点，

则

四边形为矩形，

，.

，

.

在中，由勾股定理，得.

，，

．

,

.

.

.

.

当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，

又，

，

，

所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时.