Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．

（1）写出点B的坐标；

（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（1，3）；（2）点D的坐标为（，0）；（3）存在，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．

【解析】

（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标；

（2）根据△ABC∽△ADB，得到=，代入计算求出AD，得到点D的坐标；

（3）分△APQ∽△ABD、△AQP∽△ABD两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可．

解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，

∴＝，即＝，

解得，BC＝3，

∴点B的坐标为（1，3）；

（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，

则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，

∴△ABC∽△ADB，

∴＝，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，

∴＝，

解得，AD＝，

则OD＝AD﹣AO＝，

∴点D的坐标为（，0）；

（3）存在，

由题意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，

当PQ⊥AB时，PQ∥BD，

∴△APQ∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，

∴△AQP∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

综上所述，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．