Question

在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E。

（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）求证：AC·AF=DF·FE。

Answer 1

解：（1）连CF、BF，
∠ACD=∠MCD=∠CDB+∠CBD=∠CFB+∠CFD=∠DFB，
而∠ACD=∠DFB=∠DAB，
又∠ACD=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴△ABD为等腰三角形；
（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，
则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴弧CD=弧DF，
∴弧CD=弧DF①
又BC=AF，
∴∠BDC=∠ADF，∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE，
∴在△CDA与△FDE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴，
即CD·EF=AC·AF，
又由①有AC·AF=DF·EF，命题即证。