Question

盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：

①若P是圆内接正三角形ABC的外接圆的

BC

上一点，则PB+PC=PA；
②若P是圆内接正四边形ABCD的外接圆的

BC

上一点，则PB+PD=

2

PA；
③若P是圆内接正五边形ABCDE的外接圆的

BC

上一点，请问PB+PE与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；
④若P是圆内接正n边形A₁A₂A₃…A_n的外接圆的

A2A3

上一点，请问PA₂+PA_n与PA₁又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明．

Answer 1

分析：PB+PC=PA，可以在PA上截取一条线段等于PB，然后证明剩下的部分等于PC即可，其它三问的解决思路相同．

解答：解：
③PB+PE与PA满足的数量关系是：PB+PE=2PA•cos36°；（3分）
理由如下：作AM⊥PB于M，AN⊥PE于N，
∵∠APM=∠APN
∴Rt△AMP≌Rt△ANP，
∴AM=AN，PM=PE；（5分）
∵AB=AE，
∴Rt△AMB≌Rt△ANE，
∴MB=NE∴PB+PE=（PM-MB）+（PN+NE）=2PN；（7分）
∵∠APE=

1

2

∠AOE，且ABCDE为正五边形，
∴∠AOE=

360°

5

=72°，
∴∠APE=36°；
在Rt△ANP中，

PN

PA

=cos∠APN，
∴PN=PA•cos36°，
∴PB+PE=2PA•cos36°．（9分）

④若P是圆内接正n边形A₁A₂A₃…A_n的外接圆的

A2A3

上一点时，PA₂+PA_n与PA₁满足的数量关系是：PA2+PAn=2PA1cos(

180

n

)0．（12分）

点评：正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．