Question

19．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象上到原点O距离最小的点为A，四边形OADC是平行四边形，且点D也在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）图象上，点C的坐标为（1，3），则k的值为（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{9}{4}$
• C． -$\frac{8}{3}$
• D． -3

Answer 1

分析 首先设点A的坐标为：（x，y），可得xy=k，由反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象上到原点O的距离最小的点为A，可得y=-x，又由将线段OA平移到线段CD，点O的对应点C（1，3）且点D也在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象上，可得点D的坐标为；（x+1，y+3），继而求得点A的坐标，即可求得答案．

解答 解：设点A的坐标为：（x，y），
∴xy=k，
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵OA²=x²+y²≥2|xy|，
∴当|x|=|y|时，OA²最小，
即当y=-x时，OA最小，
∵将线段OA平移到线段CD，点O的对应点C（1，3）且点D也在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象上，
∴点D的坐标为：（x+1，y+3），
∴（x+1）（y+3）=k，
∴xy+3x+y+3=k，
即3x+y=-3，
∴3x-x=-3，
解得：x=-$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3}{2}$，
∴点A的坐标为：（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴k=xy=-$\frac{9}{4}$．
故选B．

点评 此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式以及几何不等式的应用．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．