Question

9．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：EG=EF．
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△DBG≌△DCF，推出DG=DF，根据垂直平分线的性质即可解决问题．
（2）结论：BE+CF＞EF．在△BEG中，由BE+BG＞EG，再根据EG=EF，BG=CF，即可解决问题．

解答 解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠C，
在△DBG和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDG=∠FDC}\\{∠DBG=∠C}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△DCF，
∴DG=DF，
∵DE⊥GF，
∴EG=EF．

（2）结论：BE+CF＞EF．
理由：∵△DBG≌△DCF，
∴CF=BG，
在△EBG中，∵BE+BG＞EG，
∵BG=CF，EG=EF，
∴BE+CF＞EF．

点评 本题科学全等三角形的判定和性质、平行线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是善于理由全等三角形解决问题，善于中考常考题型．