Question

13．如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE=4，tanα=$\frac{3}{4}$，AE⊥EF，CF⊥EF，EF=CF，则正方形的边长为10$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由AE⊥EF，CF⊥EF，AE=4，tanα=$\frac{3}{4}$，可找出ME的长度以及用CF表示出FM的长度，再由EF=CF，可找出CF的长，结合勾股定理与正方形的性质即可得出正方形的边长．

解答 解：令EF与AC的交点为点M，如图所示．

∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEM=∠CFM=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AME∽CMF，
∴∠EAM=∠FCM=α．
∵AE=4，tanα=$\frac{3}{4}$，
∴EM=3，FM=$\frac{3}{4}$CF，
∵EF=EM+FM=3+$\frac{3}{4}$CF=CF，
∴CF=12，FM=9．
由勾股定理可知：AM=$\sqrt{A{E}^{2}+E{M}^{2}}$=5，CM=$\sqrt{C{F}^{2}+F{M}^{2}}$=15，
∴AC=AM+CM=20．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=10$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质、三角函数和勾股定理，解题的关键是利用α的三角函数值找出正方形对角线AC的长度．本题属于中档题，难度不大，单考查到的知识点较多，需要一步步推导出结论，由于本题是填空题，故降低了难度，很大知识可以直接拿来运用，不需推导和证明．