Question

7．数轴上两个点A，B所对应的数为-8，4，A、B两点各自以一定的速度同时运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．
（1）若A、B两点相同而行，在原点处相遇，求B点运动的速度；
（2）若A、B两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒钟后，A、B与原点等距离？
（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发也向数轴负方向运动，且C点总在A、B两点之间，并在运动过程中始终有$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$（BC表示C点到B点的距离），设运动t秒钟后，点A、B、C分别运动到A₁、B₁、C₁，试说明$\frac{C{C}_{1}}{A{A}_{1}}$的值不变．

Answer 1

分析 （1）设B点的运动速度为x，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，列出等量关系：$\frac{8}{2}$=$\frac{4}{x}$，解得x即可；
（2）分两种情况，一种B在右侧，一种A点、B点重合；
（3）要想始终保持CA=2CB，则C点的速度应介于A、B两者之间，设出C点速度为x个单位/秒，联立方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）设B点的运动速度为x，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，
有：$\frac{8}{2}$=$\frac{4}{x}$，
解得x=1，
所以B点的运动速度为1个单位/秒；

（2）设t秒钟后，A、B与原点等距离．
∵OA+OB=8+4=12＞6，且A点运动速度大于B点的速度，
∴分两种情况，
①当点B在点A的右侧时，8-2t=4+t，
解得t=$\frac{4}{3}$．
②当点A与点B的重合时，
2t=12+t，
解得t=12
综合①②得，$\frac{4}{3}$秒和12秒钟后，A、B与原点等距离．

（3）设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知
8+（2-x）×t=[4+（x-1）×t]×2，
整理，得2-x=2x-2，
解得x=$\frac{3}{4}$．
故C点的运动速度为$\frac{3}{4}$个单位/秒．
∴CC₁=$\frac{3}{4}$t，
∵A点的运动速度为2个单位/秒
∴AA₁=2t，
∴$\frac{C{C}_{1}}{A{A}_{1}}$=$\frac{\frac{3}{4}t}{2t}$=$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{C{C}_{1}}{A{A}_{1}}$的值不变．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，难度较大，做题时要认真分析各个点的运动方向，找出等量关系．