Question

【题目】如图，在中是直径，点是上一点，点是的中点，过点作的切线，与、的延长线分别交于点、，连接.

(1)求证：.

(2)已知的半径为2，当为何值时，，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)当时，.理由见解析.

【解析】

（1）连接OE，由点E是的中点，过点E作⊙O的切线，可得OE⊥CD，BD∥OE，进而得出BD⊥CD；

（2）当AC=4时，连接AF，证明△AFB∽△BCD，所以，即BF=DF.

(1)如图1，连接，

∵与相切于点，

∴，

∴.

∵点是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

(2)当时，.理由如下：

如图2，连接，

∵是的直径，

∴，

由(1)知，

∴，

∴△AFB∽△BCD，

∴，

当时，

∵的半径为2，

∴，

∴BC=AB+AC=8，

∴，

∴，

∴.