Question

如图，弓形ABC中，∠BAC=60°，BC=2

3

，若点P在优弧BAC上由点B向点C移动，记△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路程为m，则m的取值范围为

0＜m＜

4π

3

．

Answer 1

分析：可设I为△PBC的内心连接BI，利用点I的轨迹是以点D为圆心，2为半径的弧CIB（不含点C、B），可求出弧CIB的长为

4π

3

，进而求出m的取值范围．

解答：解：如图，将圆补全，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，设I为△PBC的内心连接BI、连接PD、
连接BO、连接CO、连接BD、连接CD、连接PB、连接PC，
∵DO⊥BC，
∴BD=CD，∠BPD=∠CPD，
∵PBI+∠BPI=∠BID，∠DBC+∠CBI=∠IBD，∠BPD=∠BCD，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD，
∵∠BAC=60°，BC=2

3

，
∴∠BOD=60°，△BDO是等边三角形，
∴BO=

3

sin60°

=2，
∴BD=BO=ID=2，
∴动点I到定点D的距离为2，即点I的轨迹是以点D为圆心，2为半径的弧CIB（不含点C、B），
弧CIB的长为

4π

3

，
则m的取值范围是0＜m＜

4π

3

．
故答案为：0＜m＜

4π

3

．

点评：此题主要考查了圆心角、圆周角定理以及三角形内心的性质等知识，本题需仔细分析题意，结合图形，得出I的运动路径即可解决问题．