Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=3，动点P在AB上运动，以点P为圆心，PA为半径画⊙P交AC于点Q．
（1）比较AP，AQ的大小，并证明你的结论；
（2）当⊙P与BC相切时，求AP的长，并求此时弓形（阴影部分）的面积．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中，根据AB、AC的长，易证得∠A=60°；若连接PQ，则△PAQ是等边三角形，由此可得出AP、AQ的大小关系．
（2）当⊙P与BC相切时，若切点为E，在Rt△PBE中，PB=2PE=2PA，由此可求出⊙P的半径；那么阴影部分的面积可由扇形PAQ和等边△PAQ的面积差求得．

解答：解：（1）AP=AQ，证明如下：（1分）
∵∠C=90°，AB=6，AC=3，
∴∠A=60°（2分）
连接PQ，
∴△PQA是等边三角形，即AP=AQ；（3分）

（2）当⊙P与BC相切时，如图，设切点为E，连接PE，则PE⊥BC，（4分）
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A=60°，
∴PB=2PE=2AP（5分）
即AP=6÷3=2，（6分）
S_弧=S_扇形PQA-S_三角形PQA=

1

6

π×22-

3

4

×22=

2

3

π-

3

．（8分）

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质以及扇形的面积公式等．