Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D为BC上一点，且BD=2

2

，∠BDA=105°．
（1）求AD的长度；
（2）求cos∠DAC的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：几何图形问题

分析：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据sin∠DBE=

DE

BD

，得出DE的长，再根据∠DAE=180°-45°-105°=30°，即可求出AD；
（2）设CD=x，则AC=BC=2

2

+x，在Rt△ACD中，根据勾股定理AC²+CD²=AD²，求出x的值，从而得出AC的值，最后根据余弦定理即可得出答案．

解答：解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵sin∠DBE=

DE

BD

，
∴DE=sin45°×2

2

=2，
∵∠BDA=105°，
∴∠DAE=180°-45°-105°=30°，
∴AD=2DE=4；

（2）设CD=x，则AC=BC=2

2

+x，
在Rt△ACD中，
∵AC²+CD²=AD²，
∴（2

2

+x）²+x²=4²，
解得：x₁=

6

-

2

，x₂=-

2

-

6

（舍去），
∴AC=2

2

+

6

-

2

=

6

+

2

，
∴cos∠DAC=

AC

AD

=

6 + 2

4

．

点评：此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、余弦定理、三角形内角和定理，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．