Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+$\sqrt{3}$与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线顶点D坐标D（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），△ABC为直角三角形，在抛物线上除点C外，还存在另一点P，使△ABP与△ABC形状相同，则P点坐标P（2，$\sqrt{3}$）．（注：抛物线顶点坐标$（-\frac{b}{2a}，\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}）$．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（-1，0），B（3，0）两点代入抛物线的解析式即可得出结论；
（2）根据抛物线的解析式得出其顶点坐标，再由抛物线的对称性即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+$\sqrt{3}$与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点与y轴交于点C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\sqrt{3}=0}\\{9a+3b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线顶点坐标D（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），C（0，$\sqrt{3}$），
∴AC²=1+3=4，BC²=3+9=12，AB²=16，
∴△ABC是直角三角形．
∵点C关于对称轴对称的点为（2，$\sqrt{3}$），
∴P（0，$\sqrt{3}$）．
故答案为：（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），直角，（2，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查的是相似三角形的判定，熟知抛物线的对称性是解答此题的关键．