Question

【题目】如图，在中，，，边长为的正方形的一个顶点在边上，与另两边分

别交于点、，，将正方形平移，使点保持在上（不与重合），设，正方形与重叠部分的面积为．

求与的函数关系式并写出自变量的取值范围；

为何值时的值最大？

在哪个范围取值时的值随的增大而减小？

Answer 1

【答案】（1），自变量的取值范围是；（2）当时，有最大值；（3）当时，随的增大而减小．

【解析】

（1）当点保持在上时，正方形与重叠部分为直角梯形，根据直角梯形的面积公式，只需用含的代数式分别表示出上底、下底及高的长度即可.由为等腰直角三角形，可得高，则，下底，进而得到，再根据等腰三角形及平行线的性质可证，得出上底，根据点保持在上，且不与重合，可知，从而求出自变量的取值范围；

（2）由（1）知，是的二次函数，根据二次函数的性质，可知当时，的值最大；

（3）根据二次函数的增减性，当时，在对称轴的右侧，的值随的增大而减小.

解：∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴．

在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵点保持在上，且不与重合，

∴，

∴，

∴．

故，自变量的取值范围是；

∵，

∴当时，有最大值；

∵，，，

∴当时，随的增大而减小．