Question

18．如图，羽毛球运动员甲站在点O处练习发球，将球从O点正上方$\frac{3}{2}$m的P处发出，把球勘察点，其运行路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，其高度为$\frac{17}{6}$m，离甲站立地点O的水平距离为4m，球网BA离O点的水平距离为5m，以O为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点C的坐标为（m，0）
（1）求出抛物线的解析式；（不写自变量的取值范围）
（2）求排球落地点N离球网的水平距离；
（3）乙原地起跳可接球的最大高度为$\frac{9}{4}$米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为y=a（x-4）²+$\frac{17}{6}$，将点（0，$\frac{3}{2}$）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；
（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON-OA即可得出答案．
（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-4）²+$\frac{17}{6}$，
将点（0，$\frac{3}{2}$）代入可得：$\frac{3}{2}$=a（0-4）²+$\frac{17}{6}$，
解得：a=-$\frac{1}{12}$，
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{12}$（x-4）²+$\frac{17}{6}$；
（2）当y=0时，-$\frac{1}{12}$（x-4）²+$\frac{17}{6}$=0，
解得：x₁=4-$\sqrt{34}$（舍去），x₂=4+$\sqrt{34}$，
即ON=4+$\sqrt{34}$，
∵OA=5，
∴AN=$\sqrt{34}$-1（米）；
（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，
此时-$\frac{1}{12}$（x-4）²+$\frac{17}{6}$=$\frac{9}{4}$，
解得：m₁=4-$\sqrt{7}$，m₂=4+$\sqrt{7}$，
∵运动员接球高度不够，
∴4-$\sqrt{7}$＜m＜4+$\sqrt{7}$，
∵OA=5，乙运动员接球时不能触网，
∴m的取值范围为：5＜m＜4+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．