题目内容
【题目】如图，
中，
，
，若点
为射线
上一动点，连接
，将线段AE绕着点
逆时针旋转
得到
.
(1)如图
，当点在线段上运动时；
①若
，则
_______ (直接写出答案)；
②过
点作
交
于
点，求证：
；
(2)当点在射线上，(如图2) 连接
与直线交于
点，若
，求
的值.
【答案】（1）①60°；②见解析；（2）
或
【解析】
（1）①由旋转的性质可得∠EAF=90°，再根据角的和差求出∠CAE的度数，然后根据∠FAC=∠EAF-∠CAE计算即可；
②通过证明形△ADF≌△EAC得到：AD=CE，FD=AC，再利用等量代换即可证明结论成立；
（2）分两种情况求解：①当点E在线段CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证
，由（1）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得
的值，即可解题；②当点E在线段CB的上时．过F作FD⊥AG点D，与①同理即可求解．
证明：（1）①由旋转的性质得∠EAF=90°，
∵
，
，
∴
，
∴∠FAC=90°-30°=60°；
②∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠AFD =90°，
∴∠CAE=∠AFD，
在△ADF和△ECA中，
，
∴△ADF≌△ECA（AAS），
∴AD=EC，FD=AC，
∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；
（2）①当点E在线段CB的延长线上时，过F作FD⊥AC的延长线交于点D，如图2，
∵
，BC=AC，CE=CB+BE，
∴，
由（1）知：△ADF≌△ECA，
∴AD=CE，DF=AC，
∴
，
∴
，
∵AC=BC，DF=AC，
∴DF=BC，
又∵∠FGD=∠BGC，∠D=∠BCG=90°，
∴△GDF≌△GCB，
∴DG=CG，
∴
，
∴
；
②当点E在线段CB的上时，过F作FD⊥AC于点D，如图3，
∵， BC=CE+BE，
∴
，
∵BC=AC，
∴
，
由（1）知：△ADF≌△ECA，
∴AD=CE，DF=AC，
∴
，
∴，
∵AC=BC，DF=AC，
∴DF=BC，
又∵∠FGD=∠BGC，∠ADF=∠BCG=90°，
∴△GDF≌△GCB，
∴DG=CG，
∴，
∴
．
综上可知，的值是或．
故答案为：或．
