Question

【题目】如图，中，，，若点为射线上一动点，连接，将线段AE绕着点逆时针旋转得到.

(1)如图，当点在线段上运动时；

①若，则_______ (直接写出答案)；

②过点作交于点，求证：；

(2)当点在射线上，(如图2) 连接与直线交于点，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①60°；②见解析；（2）或

【解析】

（1）①由旋转的性质可得∠EAF=90°，再根据角的和差求出∠CAE的度数，然后根据∠FAC=∠EAF-∠CAE计算即可；

②通过证明形△ADF≌△EAC得到：AD=CE，FD=AC，再利用等量代换即可证明结论成立；

（2）分两种情况求解：①当点E在线段CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证，由（1）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解题；②当点E在线段CB的上时．过F作FD⊥AG点D，与①同理即可求解．

证明：（1）①由旋转的性质得∠EAF=90°，

∵，，

∴，

∴∠FAC=90°-30°=60°；

②∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠AFD =90°，

∴∠CAE=∠AFD，

在△ADF和△ECA中，

，

∴△ADF≌△ECA（AAS），

∴AD=EC，FD=AC，

∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；

（2）①当点E在线段CB的延长线上时，过F作FD⊥AC的延长线交于点D，如图2，

∵，BC=AC，CE=CB+BE，

∴，

由（1）知：△ADF≌△ECA，

∴AD=CE，DF=AC，

∴，

∴，

∵AC=BC，DF=AC，

∴DF=BC，

又∵∠FGD=∠BGC，∠D=∠BCG=90°，

∴△GDF≌△GCB，

∴DG=CG，

∴，

∴；

②当点E在线段CB的上时，过F作FD⊥AC于点D，如图3，

∵， BC=CE+BE，

∴，

∵BC=AC，

∴，

由（1）知：△ADF≌△ECA，

∴AD=CE，DF=AC，

∴，

∴，

∵AC=BC，DF=AC，

∴DF=BC，

又∵∠FGD=∠BGC，∠ADF=∠BCG=90°，

∴△GDF≌△GCB，

∴DG=CG，

∴，

∴．

综上可知，的值是或．

故答案为：或．