题目内容
【题目】在平面直角坐标系xoy中，点A（0,6），点B在x轴的正半轴上.若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X矩形”.下图为点P，Q的“X矩形”的示意图.
(1)若点B(4,0)，点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为___.
(2)点M，N的“X矩形”是正方形，
①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标.
②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围___.
【答案】（1）6；（2）①B（6,0），N（1,5）或（5,1）；②0<r<3
-
或r>
【解析】
（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的函数表达式，代入x=2即可求出点C的坐标，再利用矩形的面积公式即可求出点B，C的“X矩形”的面积；
（2）①根据正方形的性质可得出∠ABO=45°，结合点A的坐标可得出点B的坐标及直线AB的函数表达式，由点M到y轴的距离为3可得出点M的坐标，再由正方形的面积结合点M的坐标即可得出点N的坐标，进而可得出经过点N的反比例函数的表达式；
②找出⊙O与点M，N的“X矩形”相交的最小、最大值，由此即可得出结论．
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(0,6)，B(4,0)，
∴
解得：k=-,b=6，
∴y=x+6，
当x=2时，y=3，
∴C(2,3)，
∴点B，C的“X矩形”的面积为：
(30)×(42)=6．
故答案为6；
(2)①如图：
点M，N的“X矩形”是正方形，
则B(6,0)，
此时直线AB的解析式为y=x+6，
点M到y轴的距离为3，y=3+6=3，
M(3,3)，
正方形面积为4，则边长为2，
∴N(5,1)或N(1,5)；
②如图：
∵OA=OB=6，
∴AB=
∴OF=3
∵正方形的对角线长度为3，
∴EF=，
∴OE=3-,
同理：根据勾股定理可得OG=
∴0<r<3-或r>
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